Набор из 100 натуральных чисел обладает тем свойством, что каждое из этих чисел является делителем суммы остальных 99 чисел этого набора. Могут ли все эти числа быть попарно различными?

Моё решение.

Возьмём числа 1, 2, 3, а каждое следующее число будем брать равным сумме всех предыдущих. Получим:

1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, ...

Остановимся, когда чисел станет 100.

Сумма первых трёх чисел равна 6 и делится на каждое из них. После добавления каждого следующего числа сумма удваивается. При этом каждое новое число само является одной из промежуточных сумм. Поэтому итоговая сумма делится на каждое из 100 чисел.

Следовательно, если из итоговой суммы вычесть любое число набора, полученная сумма остальных 99 чисел также будет делиться на это число.

Все числа попарно различны. Значит, ответ: да.

По ссылке приведено существенно более громоздкое решение:
http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=piter.gorod.1987.rayon...
(задача № 3).

Не упускаю ли я чего-нибудь?

Простые числа из простых цифр

Рассмотрим такую последовательность.

Для каждого натурального n найдём наибольшее n-значное простое число, удовлетворяющее двум условиям:

Каждая его цифра является простым числом, то есть принадлежит множеству {2, 3, 5, 7}.
Сумма его цифр также является простым числом.

Первые 14 членов:

7, 23, 773, 7727, 77773, 777277, 7777753,
77777327, 777777773, 7777777327, 77777777573,
777777777727, 7777777777333, 77777777772353

Например, для n = 14 максимальное число:

77777777772353.

Сумма его цифр:

9×7 + 2 + 3 + 5 + 3 = 83,

а 83 является простым числом. Само число 77777777772353 также простое.

Интересно, есть ли эта последовательность в OEIS?

И ещё интереснее: каков следующий, 15-й член? 🦖