Известно, что x=5a^2=7b^3>0, числа a и b — целые. Каково наименьшее возможное значение x?

1718161920166251019131677777 это простое число!

(В словосочетании "простое число" каждая буква заменена её номером в русском алфавите. Затем добавлено 5 семёрок.)

а) В Стране Загадочных Степеней жители знают только числа
1, 4, 8, 16, 32, 64, ...
и считают, как обычно, что a делится на b, если a = bc для некоторого c. Простые числа определяются тоже стандартным образом. Верна ли в этой стране основная теорема арифметики?

б) Тот же вопрос для Страны Загадочного Шага, в которой жители знают только числа
1, 5, 9, 13, 17, 21, ...

Это минимально возможное простое число, составленное ровно из 11 нулей, 11 шестёрок, одной двойки и одной девятки: 200000000000666666666669

Используя сложение, вычитание, умножение и деление (в любых количествах и комбинациях), получите число 43 из чисел 1, 5, 6, 7, 8 (использовав каждое по разу).

Настя и Даша — двоюродные сёстры. Их возрасты спрятаны в одной паре простых близнецов.

Известно, что оба числа в этой паре меньше тысячи. Если сложить цифры первого числа, получится простое число. Если сложить цифры второго числа, тоже получится простое число. Но эти две суммы цифр уже не являются простыми близнецами.

Сколько лет Насте и Даше?

Важное замечание: Возрастами Насти и Даши являются именно суммы цифр этих двух чисел, а не сами эти числа.

В задачнике 200 задач с номерами от 1 до 200. Уровень сложности каждой задачи равен количеству различных простых делителей её номера. Сколько уровней сложности в задачнике? Сколько задач имеют наивысший уровень сложности?