Серия «Наука»

Как оказалось, эксперимент, предложенный психологом, является классической комбинаторной "задачей о встречах" (Problème des rencontres). Есть похожие "задачи о беспорядках", например, "Задача о шляпах" ("Задача Эйлера"), "Задача о конвертах" и т.п. Там в классической формулировке спрашивается, какова вероятность, что ни один из мужчин, оставивших шляпы в гардеробе, не получит назад свою (здесь решение для случая, когда некоторые все же получат). Или что ни один адресат не получит свое письмо. Но у нас немного другая ситуация: часть фото и био должны совпасть — это "частичный беспорядок".

Буквально пару слов об истории вопроса. Подобными проблемами математики озаботились в связи с карточной игрой Тринадцать (фр. Treize). Банкующий доставал по очереди из колоды карты. Если порядковый номер карты совпадал с ее номиналом (например, второй картой оказалась двойка), то банкир выигрывал, если ни один номинал не совпадал с порядковым номером, то побеждал игрок. Вычислением вероятностей обоих вариантов занимался Пьер Монмор. Он написал в 1708 году книгу "Аналитическое исследование азартных игр", во 2-м издании которой опубликовал свою переписку (есть на англ.) с Николаем Бернулли. На стр. 301—303 Бернулли приводит математический анализ "встреч" (совпадений): опираясь на известные биномиальные коэффициенты (число сочетаний), он впервые вывел формулу субфакториалов ("беспорядков")**. Ниже будем использовать современную компактную запись этих же идей.

Итак...

Итак, как известно, чтобы вычислить вероятность P, надо число исходов, которые удовлетворяют нашему критерию — 3 фото соотнесены с биографиями верно — разделить на общее число вариантов:

Общее число вариантов, когда n биографий совмещаются с n фотографиями любым образом это n!

А числитель — это "число встреч", рассчитывается по формуле: C(n, k) ⋅ !(n - k). Подставим все это в исходное отношение и получим:

Хотя вроде бы у нас 12 элементов — 6 фото и 6 био — но фотографии это фактически позиции, по которым расладывают биографии, или наоборот, биографии — это позиции. Поэтому n = 6. Значит, n! = 6! = 720 — это наш знаменатель. Теперь найдем числитель.

Найдем число сочетаний

Сначала нам надо получить число вариантов, которые дадут три совпадения фотографии и биографии. То есть какие-то три фотографии могут совпасть в разных сочетаниях, и надо найти число этих сочетаний. Есть формула для сочетаний C из n по k, то есть в нашем случае из 6 по 3 (три совпавшие пары из 6): С(n, k) = n! / k! (n - k)!. Но поскольку тут число вариантов не слишком большое, то для наглядности можно проиллюстрировать — цифры будут обозначать фотографии, а буквы — биографии:

1 2 3 4 5 6 — фотографии

а б в г д е — биографии

При такой записи видно, что это та же задача, которую решали Бернулли с Монмором, где был номинал карт a, b, c… и порядковый номер 1, 2, 3… Это еще похоже на задачу, о том, как рассадить n человек по n стульям (если имена подписаны на стульях), чтобы только часть k села на свои места — просто вместо стульев тут фотографии, на которые "рассаживают" биографии.

Возьмем в качестве первого варианта такой, где первые три пары совпали: 1 - а, 2 - б, 3 - в (остальные нас не интересуют). Теперь зафиксируем первые две позиции (1 - а, 2 - б) и будем менять третью, когда варианты для 1 - а, 2 - б кончатся, оставим 1 - а, а 2 - б изменим на 3 - в, когда кончатся все варианты, начинающиеся с 1 - а, начнем искать начинающиеся с 2 - б и т.д. Всего получится 20 вариантов.

Варианты, начинающиеся с 1:
1. 1 - а, 2 - б, 3 - в
2. 1 - а, 2 - б, 4 - г
3. 1 - а, 2 - б, 5 - д
4. 1 - а, 2 - б, 6 - е
5. 1 - а, 3 - в, 4 - г
6. 1 - а, 3 - в, 5 - д
7. 1 - а, 3 - в, 6 - е
8. 1 - а, 4 - г, 5 - д
9. 1 - а, 4 - г, 6 - е
10. 1 - а, 5 - д, 6 - е

Варианты, начинающиеся с 2:
11. 2 - б, 3 - в, 4 - г
12. 2 - б, 3 - в, 5 - д
13. 2 - б, 3 - в, 6 - е
14. 2 - б, 4 - г, 5 - д
15. 2 - б, 4 - г, 6 - е
16. 2 - б, 5 - д, 6 - е

Варианты, начинающиеся с 3:
17. 3 - в, 4 - г, 5 - д
18. 3 - в, 4 - г, 6 - е
19. 3 - в, 5 - д, 6 - е

Вариант, начинающийся с 4:
20. 4 - г, 5 - д, 6 - е

Или то же самое на картинке:

Ну и такой же результат был бы, если бы мы ничего не выписывали, а просто подставили значения в формулу сочетаний:

Найдем число беспорядков

Но на каждое такое удачное "сочетание" трех совпавших пар приходятся еще разные сочетания оставшихся 3-х фотографий и 3-х биографий.

Возьмем первое сочетание, которое мы нашли 1-а, 2-б, 3-в и посмотрим как могут расположиться оставшиеся элементы:

4 - г, 5 - д, 6 - е — 3 совпадения
4 - г, 5 - е, 6 - д — 1 совпадение
4 - е, 5 - д, 6 - г — 1 совпадение
4 - д, 5 - г, 6 - е — 1 совпадение
4 - д, 5 - е, 6 - г — Нет новых совпадений
4 - е, 5 - г, 6 - д — Нет новых совпадений

Вот первые четыре варианта нам не подходят — потому что нас интересуют только ситуации, где правильно выбраны только три пары, не больше — а эти дадут нам новые совпадения, и получится больше 3-х. Значит, на каждое найденное нами сочетание из 6 по 3, которых мы насчитали 20, придется еще по 2 варианта комбинаций оставшихся элементов, которые при этом не дадут новых совпадений. Поэтому надо умножить 20 на 2. Это же число, то есть 2, можно было получить, вычислив субфакториал !3 (так называемое "число беспорядков", т. е. число вариантов, где нет никаких совпадений) по формуле:

Ниже опять историческое отступление — можно его пропустить и перейти в конец раздела.

Мы просто подставили значения в формулу субфакториала. Но интересно, как Бернулли ее получил. Когда он пытался вычислить вероятность, что в игре Тринадцать выиграет банкующий — то есть хоть одна карта окажется на своем месте (ее номинал совпадет с порядковым номером) — то заметил следующую странность. Если взять, к примеру, колоду из трех карт (аналог наших оставшихся трех биографий), и предположить, что 1/3 — это вероятность одной конкретной карте оказаться на своей позиции, а затем попытаться вычислить вероятность того, что хоть одна карта окажется на своем месте, то получится 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1. Но такого быть не может, иначе банкующий всегда бы выигрывал. А мы сами видели, когда выписывали комбинации, что буквы находятся не на своих позициях, то есть дают "полный беспорядок" только в двух случаях.

Бернулли понял, что карта может оказаться на своем месте в разных вариантах: в нашем случае каждая буква на месте в "г, д, е" и отдельно в "г, е, д", "е, д, г", "д, г, е" — то есть одному условию "буква (карта) на месте" удовлетворяют два варианта. Поэтому нельзя просто сложить 1/3 три раза, а надо еще из вероятности 1 вычесть вероятность того, что карта попадет в один из этих вариантов — C(3, 2) ⋅ 1/6. Это будет 6/6 - 3/6 = 3/6 = 1/2. Теперь вероятность получилась 0.5, что опять противоречит нашим эмпирическим данным — мы видели что буквы были на своих местах в 4-х случаях из шести (4/6), а не в половине. Это произошло потому что вероятность 3/6 полностью поглотила событие "г, д, е", которое удовлетворяет условиям "буква на месте" сразу для всех трех букв.

Поэтому Бернулли еще раз прибавляет вероятность для этой комбинации: 6/6 - 3/6 + 1/6. Вот теперь получается 4/6, что согласовывается с тем, что мы видели, когда писали комбинации с г, д, е. Это вероятность того, что выиграет банкующий — если вычесть ее из 1, получим вероятность того, что выиграет игрок (вероятность беспорядков). P-беспор = 1 - (6/6 - 3/6 + 1/6). Теперь, если заменить 3/6 обратно на C(3, 2) ⋅ 1/6 = 3! / ( 2! ⋅ (3 - 2)!) ⋅ 1/6 и произвести сокращения, то получим 1/2!, а если представить 6/6 как C(3, 1), а 1/6 как C(3, 3) и произвести аналогичные действия, то вместо них получим 1/1! и 1/3!, то есть P-беспор = 1 - (1/1! - 1/2! + 1/3!), а чтобы получить число всех вариантов беспорядков, надо умножить (из формулы вероятности) P-беспор на n! — вот мы и пришли к формуле, которую записали выше.

И кажется, в ходе решения Бернулли первым применил принцип включений-исключений, хотя его еще несколько раз переоткроют — Леонард Эйлер, Адриен-Мари Лежандр, Эжен Каталан, Даниэль Аугусто да Силва. Надо так же упомянуть, что Монмор искал сочетания рекуррентным перебором, "вручную", поэтому не мог считать беспорядки для колод, где карт больше пяти. А Николай Бернулли использовал ту же формулу сочетаний, что и мы — он обнаружил ее в труде своего дяди Якоба Бернулли. Якоб Бернулли много лет писал "Ars Conjectandi" ("Искусство предположений"), но был перфекционистом, постоянно дописывал текст (прямо как я этот пост) и в итоге умер в 1705 году, так и не успев опубликовать свой главный труд — за него это сделал Николай.

Переписка Монмора с Бернулли важна и для теории игр. Вместе с Чарльзом Уолдгрейвом (он был заговорщиком-якобитом и о нем известно в основном из этих писем) они обсуждали стратегию игры "Бедолага" (Задача Уолдгрейва) — в результате последним впервые была предложена стратегия минимакс.

Историческое отступление закончилось.

Теперь имеем числитель и знаменатель для дроби P = 20 * 2 / 720 = 1/18. Это и есть наша вероятность ровно трех совпадений. Как видно, она намного меньше 1/2.

Математическое ожидание

Можно также посчитать, сколько люди будут угадывать в среднем. Для этого надо вычислить математическое ожидание. Сделаем это с помощью метода индикаторных случайных величин — такая величина, которая показывает, произошло событие или нет. То есть, если пара совпала эта величина будет 1, если не совпала — 0. Для математического ожидания надо значения индикатора умножить на его вероятность. Для случая, когда найдена конкретная пара это будет 1 * 1/6 + 0 * 5/6 = 1 / 6. Теперь сложим матожидания для всех пар 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1. То есть в среднем, если взять результаты всех людей (кто-то угадает 0, кто-то больше) и разделить на число людей, то получим 1.

Так что там с экстрасенсорикой?

Тут наша девушка могла бы обрадоваться — казалось бы в 3 раза превысила среднестатистические показатели. Но надо еще проверить ее результат на статистическую значимость. Для этого надо вычислить P-value — это вероятность получить такой же или еще более высокий результат при условии, что нулевая гипотеза (девушка угадывает случайно) верна.

Для этого в формулу, которой мы пользовались для определения P, надо подставить в числитель не 40 (то есть число исходов с 3-мя угаданными парами), а общее число исходов для 3-х или более угаданных пар: ровно 3 пары — 40 исходов, ровно 4 пары — 15 исходов, ровно 5 — 0 исходов***, ровно 6 — 1 исход. Всего 56 исходов. Теперь подставим в формулу P-value = 56 / 720 ≈ 0.0777. И... К несчастью (или к счастью) для девушки, статистически значимым считается значение P-value ниже 0.05 — то есть, если бы она угадала 4 пары, то можно было бы о чем-то говорить. А так, это ей просто ну оооооочень сильно повезло. Хотя одного эксперимента, в любом случае, было бы недостаточно.

P. S. Кстати, интересный момент. В статье про беспорядки в википедии в абзаце про задачу о письмах ("если n писем случайным образом положить в n различных конвертов, то какова вероятность, что какое-нибудь из писем попадёт в свой конверт") написано: "ответ почти не зависит (при n ≥ 5) от количества писем и конвертов и примерно равен константе 1-e^-1 ≈ 0,63212". То есть вероятность угадать хотя бы одну пару фото и био из любого их числа, если оно больше 5 (хоть 6 как у нас, хоть миллион), будет близка к 0,63212.

А теория вероятностей меня похоже не отпускает. Переехал на новую квартиру и вокруг моего дома попадается много автомобилей с номерами либо из трех одинаковых цифр, либо вида "001, 002...". Ну то есть каждый день встречаю рядом с домом по пять таких припаркованных автомобилей (из пары десятков). И по-моему не все из них жильцы. Даже шестерка жигули с номером 555 попалась.

P. P. S. Я далеко не Савватеев, поэтому замечания приветствуются=)

* Психологом, предложившим такую проверку девушке, был Андрей Курпатов

** Наткнулся, когда писал пост, на вопрос на math.stackexchange: "I'm looking for the method by which the partial derangement formula D(n,k) was derived. I can determine the values for small values of N empirically, but how the general case formula arose still alludes me." То есть человек спрашивал, как вывели формулу частичных беспорядков — монография Монмора и переписка с Бернулли ему наверное помогли бы это понять (займусь-ка некропостингом). Интересно, что эту задачу позже независимо решил (и усложнил) тогда еще 23-летний Эжен Каталан, и только уже перед публикацией своей статьи D'un Problème de Probabilité, relatif au Jeu de rencontre (оригинал статьи на фр.) узнал, что он далеко не первый — после Монмора и Бернулли ею занимался Эйлер.

*** Для меня это было контринтуитивно — исходов для 5 (или n-1) элементов — 0, а для 6 (или n) — 1. Но по условию задачи, не просто 5 элементов по своим позициям должны расположиться, а оставшийся 1 элемент должен занять не свою. Если ты пять биографий угадал, шестая угадывается автоматически.

Одуванчики и орхидеи

Есть теория, которую выдвинул Томас Бойс. Она касается детей: по этой теории бывают "дети-одуванчики" и "дети-орхидеи". Первые нечувствительны к неблагоприятным условиям среды (видимо Бойс, считает, что одуванчики это сорняки), они быстро адаптируются, невосприимчивы к стрессам и тп. Но и более нежная среда не даст им преимуществ. А орхидеи, по мнению Бойса, являются полной противоположностью одуванчиков, чувствительные и ранимые, но в толерантной среде могут превзойти их по творческим и интеллектуальным способностям.

Но поскольку это психология, то есть ммм... не совсем наука... потому что не удовлетворяет критерию Поппера, то хочется чего-то помясистее, посущественнее, поувесистее... А у Бойса пока можно взять удобные названия "одуванчики и орхидеи".

Гипотеза

Для начала я выдвину гипотезу, которую буду пытаться обосновать. Я предполагаю, что есть некоторая комбинация генов, которая, например, позволяет русским демонстрировать высокую адаптивность к неблагоприятным условиям, низкую чувствительность к бытовому дискомфорту, и это является полезной адаптацией для жизни, например, в холоде, или во время общественных катаклизмов как войны, революции, гулаги и прочее, когда переживания по поводу бытовой неустроенности это лишняя трата жизненно важной энергии.

И одновременно эта же комбинация, предположительно, мешает нам налаживать быт как условным "немцам", потому что из-за высокой толерантности к дискомфорту человек фактически не замечает мусор во дворе или разбитое окно в подъезде. Или, если он сам это окно разбил, то вид разбитого окна не будет будоражить его эстетическое чувство. То есть в соответствии с этой гипотезой я ожидаю увидеть, что в популяции будет преобладать число "одуванчиков" над "орхидеями" и при этом число "одуванчиков" будет существенно выше, чем в других (в "немецких") популяциях.

Проверка гипотезы

Что значит, что "орхидеи" менее адаптированы к стрессу? Это значит, что у них высокая тревожность и соответственно низкий уровень серотонина (точнее будет сказать, он плохо транспортируется). Известно, что определенная мутация (полиморфизм) в гене SLC6A4 приводит к снижению или усилению захвата серотонина. Этот ген (а точнее его участок STin2) имеет два аллельных варианта: "10" и "12" (по числу повторов фрагментов ДНК).

Аллель "12", по словам авторов этой статьи в Scientific Reports, "способствует повышенной бдительности, что приводит к большей тревожности, усилению реакции на эмоциональные стимулы и большему вниманию к негативной информации, а также к более тщательному мониторингу окружающей среды" — то есть это условно наши "орхидеи". Соответственно, "10" это "одуванчики".

При этом нам надо искать людей, которым достался "12"- или "10"-вариант одновременно и от папы и от мамы (у нас диплоидный набор генов, половина от пап, половина от мам). Это генотипы "12/12" и "10/10". А будут еще люди у которых, например, от мамы "12"-вариант, а от папы "10"-вариант — "12/10" (или наоборот "10/12"): они немного одуванчики, немного орхидеи.

Итак, есть исследование в Scientific Reports, которое показывает распределение этих аллелей по различным популяциям. На карте из статьи видно, что "одуванчиков" в России 19,52%. И это в два раза выше, чем в Германии — там что-то около 10%, но сравнимо с Францией, Великобританией и Канадой — на карте плохо читаются точные цифры, но исходя из темно-синего цвета, у них больше 15% (у Британии 18%). А у Бразилии, например, 23% "одуванчиков". Это ожидаемый результат.

Неожиданный результат №1

Неожиданным оказалось то, что предельно низкий процент "одуванчиков" в ЮВА. Например, в Китае и Японии их порядка одного процента. Вернее неожиданно то, что вообще нашлись популяции, где "одуванчиков" практически нет.

Неожиданный результат №2

А вот то, чего я совсем не ожидал — что в России "орхидей" больше, чем "одуванчиков" — 35,53%, и больше, чем в той же Германии — там 25,90% "орхидей". После России идут Бразилия — 39,49% "орхидей", США — 43.02%, Индия — 51%, и опять с большим отрывом ото всех Китай и Япония — около 79% "орхидей".

То есть русские, если смотреть по цифрам, это скорее чувствительные эльфы (это я пересмотрел Властелин Колец), чем толстокожие орки. Но тут, конечно, надо вспомнить, что мы произвели рецепцию терминологии Бойса с некоторыми оговорками. Как отмечают авторы статьи в Scientific Reports, аллель "12" ("орхидеи") положительно коррелирует с "монументализмом", под которым авторы понимают "социальный контроль".

Возможно (это уже мое предположение), что "орхидеи" плохо переносят не просто дискомфорт, а неопределенность. А жесткая иерархическая социальная структура (тот самый "социальный контроль") как раз снимает с человека это ощущение. Поэтому, профессор Толкин был неправ, военизированное общество орков может состоят из более чувствительных и ранимых индивидов, чем общество эльфов. В истории мы видели это на примере той же Японии — мощная и безжалостная военная машина, но при этом тончайшее ощущение мироздания (это можно проиллюстрировать фигурой Юкио Мисимы).

А кто же бьет фонарики? Корректировка исходного тезиса

Я уже хотел закончить пост, но тут вмешалась моя жена, которая постоянно со мной спорит, и обратила мое внимание на то, что начальный тезис у меня сформулирован некорректно. А имменно: ломание фонариков это активное вмешательство в ландшафт, а не просто равнодушие к неорганизованному пространству... Моя-то мысль была в другом. Хотя я в начале ставил вопрос "зачем?", но я имел в виду "почему человека не пугает дисгармония" (немного подправил преамбулу). Равнодушие, разумеется, не может подтолкнуть человека бить вещи, но я предполагал, что если человек что-то бьет, то у него не возникает дискомфорт по поводу энтропии, энтропия его не останавливает, он к ней равнодушен. У меня, например, тоже часто возникает желание что-то разбить, но меня останавливает мысль, что потом будет некрасиво.

Но действительно, чтобы утверждать, что это именно "одуванчик" разбил фонарик, данных недостаточно. Это могли быть и "орхидеи" для которых непривычный декоративный элемент это нарушение привычного порядка и предсказуемости среды. Возможно для этих "орхидей" фонарик стал символом агрессивного вторжения враждебной им культуры на их территорию. Или это была фрустрированная "орхидея" — ведь у орхидей повышенный стресс — и человеку надо было снять напряжение безопасным способом. Или это иллюстрация "Теории разбитых окон". Или все эти причины сработали разом. А может это вообще конкруенты фирмы, которая производит реконструкцию парка...

P. S. Я не претендую на точность терминологии, это не научная публикация — просто хочу, чтобы фонарики в парках были целые;-)
P. P. S. Конечно есть примеры и обратного — когда люди благоустраивают пространство — субботники, например.

* Marcus, J., Cetin, E. Genetic predictors of cultural values variation between societies. Sci Rep 13, 7986 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-34845-x

Обзор источников, версии петрификации

У Толкина устройство троллей не описывается, но по этому поводу есть кое-что у другого английского писателя — Терри Пратчета — у него тролли это не углеродная (орагническая) а кремниевая форма жизни. В книге The Science of Middle-earth палеонтолога Генри Джи (Henry Gee), где он пытается дать магии Средиземья научое объяснение, высказана та же идея (хотя текст книги я в сети не нашел, но вроде как та же). Но кремниевый тролль не каменеет — он и так каменный, и ему не нужно есть органику (в виде белок или хоббитов).

Дальше можно заглянуть в статью в англовике: Petrifaction in mythology and fiction. О химии окаменения мы оттуда не узнаем, но узнаем про норвежский фильм "Охотники на троллей" (Trolljegeren) 2010 года. Но как источник по биохимии этот фильм тоже не годится. Вот пост (англ.) про него, а я процитирую оттуда абзацы с критикой как раз научной части (автоматеический перевод):

В фильме показано, что тролли смертельно реагируют на солнечный свет. «Ветеринар» сообщает нам, что при воздействии ультрафиолетового излучения у троллей происходит процесс, связанный с их «неспособностью преобразовывать витамин D под воздействием света в кальций». Это приводит к тому, что молодые тролли взрываются, потому что их желудки расширяются, и газы попадают в кишечник и вены.

Старые тролли превращаются в камень, потому что их вены слишком сужены, поэтому происходит расширение костей, и тролль полностью окостеневает за считанные секунды. Весь этот процесс, как утверждается, чрезвычайно болезненен для жертвы. В интервью режиссер заявил, что эти идеи пришли к нему после обсуждений с его женой, которая является ветеринаром.

К сожалению, похоже, режиссер неправильно понял некоторые объяснения своей жены. Хотя организму необходим витамин D для усвоения кальция (в форме кальциферола или витамина D2), витамин D — это не кальций. Более того, не существует биологического механизма, который позволил бы неправильной переработке любого витамина привести к взрыву или образованию камней. В природе существуют заболевания, которые могут вызывать повреждения из-за воздействия солнечного света и затвердение кожи в результате травмы. Ни одно из этих явлений не имеет никакого отношения к превращению витамина D.

Еще есть обсуждение на сайте stackexchange. Там несколько "органических" версий без детальной проработки:

• Версия 1. Кожа троллей содержит белки, которые затвердевают при воздействии волн определенной длинны как полимеры, используемые в стоматологии. По этой версии тролли превращаются не в камни: "их оболочка становится очень твердым органическим материалом, обладающим свойствами, во многом схожими со свойствами большинства видов горных пород".

• Версия 2. Похожа на первую. Тут говорится, что тролли обладают мощной способностью к регенерации (они могут полностью поменять кожу), но белки, отвечающие за регенерацию, почему-то окаменевают при ультрафиолете (поэтому троллям страшны солнечные лучи, но не страшен свет от огня). Необходимость регенерации объясняет и почему этот деффект не был выбракован в процессе эволюции.

• Версия 3. Не объясняет механизм отвердевания, но объясняет его назначение. Здесь окаменение это репродуктивная стадия организма. Пока тролль молодой, он помимо органики поедает камни, чтобы накопить минералы. И еще он накапливает "sperm from other trolls" — не уверен, что автор версии имел в виду сперму, иначе получилоась бы что окаменевают только самки. Также на коже тролля присутствуют водоросли — когда он попадает на свет, то водоросли активируются и запускают процесс затвердевания и осаждения ранее накопленных минералов. Эти же минералы работают как удобрения для водорослей, а камень защищает их. Клетки тролля постепенно отмирают, но его репродуктивная система поддерживается водорослями, которые теперь активно развиваются при солнечном свете и производят большое количество сахаров (а сахар это запас энергии). В таком виде тролль-скала может существовать бесконечно долго, производя поток крошечных троллей, которые на выходе подхватывают споры водорослей, вырастают и продолжают цикл. Автор этой версии отмечает, что окаменение это мучительный процесс для тролля: мозг тролля остается живым, будучи замурованным в неподвижном теле (как тут не вспомнить роман "Джонни взял ружье", там кстати тоже остались фактически мозг и пенис), пока не погибает от голода, так как все ресурсы организма перенаправляются на размножение. В камментах к этой версии подымается интересный вопрос, какая должна была бы сформироваться культура у троллей при такой биологии, возможно они поощряют старых особей выходить на свет, идя на самопожертвование для продолжения рода.

• Версия 4. Здесь предполагается, что тролли постоянно обмазываются гипсом. В условиях постоянного движения и большой влажности в пещерах гипс остается пластичным. Как только тролль выходит на солнце, влага из гипса испаряется, он затвердевает.

• Версия 5. Тут автор исходит из того, что тролли похожи на деревья, поскольку растут всю жизнь. Возможно и биохимия у них ближе к деревьям (тролли ведь созданы в насмешку над Энтами): у них есть фотосинтез. Но у троллей особый вид фотосинтеза — оксигенный (кислородный): CO2 + H2O + фотоны света => [CH2O](сахара) + O2. Этот фотосинтез является для троллей полезной адаптацией, потому что в пещерах много углекислого газа, и иначе, без производства кислорода, тролли бы задохнулись. Свет же они получают от светлячков и светящихся грибов. Но когда тролль попадает на солнечный свет, его фотосинтез, как пишет автор этой версии, "сходит с ума": фотосинтез забирает всю воду из клеток тролля, и тот превращается в высушенную мумию, а не в камень.

На мой взгляд, у всех вышеизложенных версий есть минимум два недостатка: медленная скорость и малая глубина отвердения. Обобщив источники, и заполнив некоторые лакуны, я предлагаю следующее объяснение механизма фоточувствительной кальцификации:

Литофиновая гипотеза

Сначала следует решить на каком камне создавать тоеорию в какой минерал превращается тролль. В организме человека наиболее распространены следующие "минералообразующие" элементы: кислород, углерод, водород, кальций и фосфор. Кажется, проще всего взять карбонат кальция CaCO3 — кальцит — из которого преимущественно состоит мрамор. Углекислый газ CO2 — неисчерпаемый побочный продукт дыхания, присутствующий в каждой клетке. Кальций — самый привычный металл для живых организмов, главный элемент костей и зубов. В нашей крови, межклеточной жидкости и внутри клеток тоже есть кальций — он нужен для передачи нервных импульсов и сокращения мышц. Мы не кальцинируемся изнутри благодаря белкам-ингибиторам (например, фетуину или MGP), которые блокируют спонтанную кристаллизацию фосфата кальция в мягких тканях и сосудах.

Но, чтобы тролль имел возможность быстро окаменеть, его кровь и межклеточная жидкость должны быть экстремально насыщены ионами кальция Ca(2+). В нормальном состоянии в организме тролля ионы кальция не выпадают в осадок (не превращаются в мел-мрамор) благодаря кальций-связывающим белкам-ингибиторам-петрификации (окаменения). Эти белки окутывают ионы, не давая им образовать кристаллическую решетку.

Белки-ингибиторы у тролля — это длинные цепочки аминокислот, свернутые в глобулы (клубки). Их структура содержит домены EF-hands, состоящие из двух спиралей, соединенных петлей, которая образует электростатический "карман". Этот "карман" образован боковыми цепями аминокислот (преимущественно аспартата и глутамата), которые оканчиваются отрицательно заряженными карбоксилатными группами (карбоксилат-анион COO-). Ион кальция Ca(2+) имеет положительный заряд, отрицательные заряды "кармана" притягивают его со всех сторон. Чтобы ион кальция высвободился, нужен какой-то триггер.

Что может стать таким триггером? Предположим, что в коже и мышцах тролля содержится белок из группы опсинов, наподобие нашего меланопсина — в экспериментах показано, что его активация синим светом вызывает повышение внутриклеточного уровня ионов кальция (подробнее на elementy.ru), или бактериородопсина, который работает как "протонный насос". В то время как активация меланопсина запускает сложную и сравнительно медленную цепочку химических посредников (G-белков), наш белок должен действовать гораздо быстрее, чтобы тролль моментально каменел на солнце.

Назовем этот белок, скажем, "литофином" (название придумал ИИ, от греческого λίθος, lithos — камень и φαίνω, phaino — являть-обнаруживать). По своему механизму литофин ближе к бактериородопсину, который выбрасывает ионы H+ из клетки во внеклеточное пространство. Положительно заряженный ион водорода состоит из одного протона, потому что электрон он потерял. При попадании фотона молекула литофина мгновенно меняет конформацию, выбрасывая ион H+ (количество протонов определяет, насколько жидкость является кислотой) и резко меняя кислотность (pH) среды. Скачок pH приводит к тому, что белки-ингибиторы теряют связь с ионами кальция: положительно заряженный ион H+ имеет очень маленький размер и может подобраться к атому кислорода в группе COO- гораздо ближе, чем массивный кальций, а по закону Кулона, чем ближе заряды, тем сильнее они притягиваются; поэтому протон связывается с теми самыми атомами кислорода в группах COO-, которые держали кальций (и вместо аниона COO- получится нейтрлаьная карбоксильная группа COOH), отрицательный заряд исчезает, ион кальция высвобождается.

Мышцы тролля потребляют кислород и выделяют CO2, в крови CO2 вступает в реакцию с водой и получается гидрокарбонат HCO3. А нам нужно как-то получить карбонат-ион CO3(2-), который соединится ионом кальция. Предположим, у тролля есть фермент наподобие карбоангидразы (которая катализирует процес образования гидрокарбоната из углекислого газа). Если этот фермент будет катализировать образование CO3(2-) из гидрокарбоната, то будет оставаться ион водорода, то есть повысится кислотность, а кислота разъедает мрамор. Поэтому используем механизм получения циклических карбонатов путем внедрения СО2 в структуру эпоксидов (описан тут, или можно погуглить на "carbonate from CO2"). Это потребует катализатора, которым и будет наш фермент. Следует уточнить, что  в отсутствие интенсивного солнечного излучения (или иного источника жесткого синего и УФ-спектра) реакция невозможна, так как фермент не может разорвать оксирановое кольцо без участия катиона кальция, выступающего в роли необходимого со-катализатора.

Братство эпоксидного кольца

Эпоксидное (оксирановое) кольцо представляет собой треугольник, состоящий из одного атома кислорода и двух связанных между собой атомов углерода. Связи в кольце C-O-C сильно изогнуты и напряжены. Из-за этого напряжения кольцо крайне нестабильно. Ниже схема из работы Адама Харви (Adam P. Harvey):

В клетках тролля есть липидные эпоксиды (например, из ненасыщенных жирных кислот). Самым простым по химической структуре эпоксидом, образующимся из ненасыщенных жирных кислот в клетках, является эпоксистеариновая кислота C18H34O3 — она получается путем окисления олеиновой кислоты (самой распространенной и структурно простой мононенасыщенной жирной кислотой в организмах).

В органической химии раскрытие оксиранового кольца под действием катионов часто (как пишут, например, на chemport.ru) осложняется скелетными перегруппировками, превращающими субстрат в побочные продукты. Фермент тролля решает эту задачу за счет прецизионной пространственной фиксации молекулы: он не просто активирует кольцо катионом кальция, но и блокирует любые альтернативные пути трансформации (например, принудительно удерживает атомы углерода на своих местах, не давая им сместиться), обеспечивая единственно возможный сценарий — немедленное внедрение CO2 в раскрытое эпоксидное кольцо. Так образуется циклический карбонат C19H34O5.

Карбоангидразы обладают побочной эстеразной активностью (ферментный промискуитет) — умеют расщеплять эфирные связи (которые как раз удерживают кольцо циклического карбоната) — используя молекулу воды (гидролиз) наш фермент разрывает кольцо и высвобождает карбонат-ион CO3(2-). Помимо карбонат-иона при гидролизе останется еще дигидроксистеариновая кислота C18H36O4 (2 атома водорода и 1 атом кислорода из молекулы воды присоединяются к жирной кислоте в местах разрыва кольца) — она нам пригодится ниже.

В этот момент происходит двухэтапная реакция: первые порции карбонат-ионов мгновенно нейтрализуют протоны, очищая среду от кислоты, которая мешает кристаллизации. Как только pH среды смещается в щелочную сторону, основная масса карбонат-ионов вступает в связь с высвобожденным кальцием и моментально выстраивает кристаллическую решетку мрамора. При этом, кристаллизация идет с выделением тепла, тепловая волна разрушает белки-ингибиторы. Кроме того, белки-ингибиторы разрушаются или меняют форму (конформация) от повышения кислотности, о котором речь шла выше. Плюс, кристаллизация создает механическое давление и микровибрации в тканях, что опять разрушает ингибиторы. Благодаря этому белки-ингибиторы отдают ионы кальция там, куда не попал свет, то есть внутри организма.

Кстати, Саурон, вероятно, починил этот момент, создав породу троллей Олог-хай, представители которой были уникальны тем, что не каменели на солнце. Олог-хай либо имели термостабильные белки-ингибиторы, которые не разрушались от тепла, либо их кожа содержала абсолютный пигмент, не допускающим фотоны до светочувствительных белков.

Без арматуры из коллагеновых волокон окаменевший тролль был бы очень хрупким и рассыпался бы как мел. На роль такой арматуры может претендовать коллаген. Коллаген — это очень длинная, закрученная в тугой и прочный на разрыв канат молекула, которая состоит из углерода, водорода, азота и кислорода. Из него состоят эндомизий — внутренняя оболочка, окружающая каждое отдельное мышечное волокно, и перимизий — более плотная соединительная ткань, окружающая пучки мышечных волокон. Но у тролля слои коллагена вокруг мышечных пучков толще, это не дает мышце раздуваться, направляя всю силу тролля в один вектор — именно поэтому тролли Толкина могут швырять огромные валуны (или это были Каменные Великаны?). Когда происходит световая вспышка, каменеет межклеточное пространство и цитоплазма — коллагеновые нити оказываются интегрированы в этот камень, а дигидроксистеариновая кислота, о которой мы говорили выше, сработает как органический клей (она активно используется в косметике как адгезивный связующий агент — binding agent, а косметика это измельченные минералы), связывающий микрокристаллы мрамора с волокнами коллагена.

Почему тролли не каменеют при свете огня?

В одной из разобранных версий отмечалось, что для окаменения нужен именно солнечный свет, вернее не любой свет дает такой эффект — в Хоббите тролли спокойно сидят у костра и не каменеют. Меланопсин, о котором упоминалось выше, обладает пиком чувствительности в синей области спектра (около 460—480 нм), и практически не реагирует на длинноволновое излучение.

Огонь (костер, свеча) излучает в основном в красной и инфракрасной области. Синего света в пламени ничтожно мало, поэтому-то вечернее сидение у огня не подавляет выработку мелатонина и не вызывает бессонницу как экраны гаджетов (поэтому тролли не могут пользоваться обычными смартфонами без риска окаменеть). Таким образом, литофин троллей остается в неактивном состоянии при свете огня, но срабатывает под воздействием солнечного излучения с коротковолновым синим и УФ-светом.

Заключение

Предложенная теория объясняет не все явления. Например, в фильме "Охотники на троллей" (Trolljegeren) некоторые тролли взрываются, а не каменеют. Для этого нужно большее выделение тепла, чем просто при кристаллизации. Поэтому можно предложить вместо ионов кальция — аморфный карбонат кальция (Amorphous calcium carbonate, ACC), который у ракообразных используется как хранилище строительного материала. Переход из аморфного твердого состояния (ACC) в кристалл (кальцит) высвобождает гораздо больше энергии. Температура в тканях мгновенно подскочит выше 100 градусов цельсия. Вся межклеточная жидкость и кровь превратятся в перегретый пар, и тролля разорвет изнутри быстрее, чем он успеет полностью окаменеть. И в том же фильме охотник на троллей разбивает окаменелости кувалдой — значит тролль превращается не в монолоит, а в пористую известняковую структуру. И остается непонятным, почему эволюция не выбраковала этот феномен — возможно окаменение это побочный эффект какой-то полезной адаптации...

В общем, тема биохимии троллей ждет своих исследователей. Тем более, что через две недели — 25 марта — будет День толкиновских чтений, ежегодно проводимый The Tolkien Society.

Надеюсь я не окажусь с моим докладом в роли героя этого советского фильма: