Брат, на днях с deep seek придумали, как анимировать обычные линии без 3D-мешей.

Берём контур, задаём ему физику (упругость, частоту волны) и получаем живую ткань.

Вот три режима одного и того же шёлка:

1. Классика (360°, 60 кадров) — волна делает полный круг, плавно возвращаясь в начало.

2. Перекрут (460°, 75 кадров) — волна идёт с перехлёстом, не успевая замкнуться. Ткань как будто течёт бесконечно.

3. Ускорение (540°, 90 кадров) — волна пробегает полтора оборота, создавая ощущение стремительного потока.

Смотрите GIF и пишите, какой режим кажется самым живым? И вообще, видели ли вы когда-нибудь такую анимацию?

Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен

#геометрия #многогранники #тетраэдр #Силашши

Второе приложение связано с мелководными волнами. В рассматриваемых солитонных решениях уравнения КП берут логарифм функции, построенной из координат Плюккера. Их неотрицательность обеспечивает положительный аргумент логарифма. Без неё возможны нули и сингулярности, при которых модель волны уходит в бесконечность. Здесь положительность выделяет решения без таких сбоев.

Третье приложение касается амплитуд рассеяния в N=4 суперсимметричной теории Янга — Миллса. Они нужны для расчёта вероятностей исходов столкновений. Громоздкие суммы диаграмм Фейнмана содержат множество сокращений. Рекурсия BCFW дала компактные выражения; Ходжес заметил в частных случаях геометрический смысл их слагаемых, словно объём складывается из объёмов частей. В 2013 году Аркани-Хамед и Трнка предложили связанный с положительным грассманианом амплитуэдр как общую геометрическую конструкцию для обсуждаемых амплитуд.

Почему одна геометрия возникает трижды? Уильямс ищет подсказку в координатах Плюккера. При совпадении двух столбцов матрицы содержащая их координата обнуляется; прохождение через вырождение может менять знак. Это наводит на связь с взаимодействием частиц и волн, но общего объяснения пока нет.

Отдельный вопрос беседы касается ИИ. В проекте First Proof 11 математиков предложили 10 исследовательских задач с ещё не опубликованными доказательствами. В закрытых тестах с одной попыткой без диалога модели решили две. Среди лучших публичных ответов разных групп, по осторожной оценке Уильямс, возможно, шесть верных. Сравнивать эти числа напрямую нельзя, процедуры и объём обратной связи различались.

Проверка доказательства и поиск неожиданной связи требуют разных оценок. First Proof проверяет первую способность, оставляя открытыми вопросы выбора интересных задач и человеческого понимания.

https://www.quantamagazine.org/what-is-the-positive-grassmannian-and-why-does-it-show-up-everywhere-20260625/

Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен

#Геометрия #Комбинаторика #Матфизика #ИскусственныйИнтеллект

Сечение тела - фигура, образовывающаяся при сечении тела с секущей плоскостью (общей частью тела и секущей плоскости)

Геометрические тела - часть пространственных фигур

Изображённые пространственные фигуры - его проекция на ту или иную плоскость

1 и та же фигура допускает разные изображения. Обычно выбирают то из них, которое создаёт правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для изучения её свойств.

Невидимые части многоугольников изображаются штрихом

Будем опираться на наглядные представления тел вращения и многоугольников:

1 толкование многоугольника:

Замкнутая линия, составленная из отрезков и не имеющая самопересечения/Часть плоскости, ограниченная этой линией

2 толкование многогранника:

Многогранник - поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело (которое кстати тоже - многоугольник)

Многогранники:

Прямоугольный параллелепипед (многогранник из 6 прямоугольников, куб (многогранник, прямоугольный паралеллипед из 6 квадратов-прямоугольников), тетраэдр и октаэдр

Тетраэдр состоит из 4 треугольников, а октаэдр - из 8

Грани - многоугольники, из которых составлен многогранник

Пример грани:

6 многоугольников прямоугольного параллелепипеда

При факте того, что грани - "части" многоугольника, предполагается, что никакие 2 соседние грани многоугольника не лежат в 1 плоскости

Стороны граней - рёбра многогранника

Концы граней - вершины многогранника

Диагональ многогранника - отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие 1 плоскости

Пример диагонали многогранника:

В паралеллипеде M (точка вертикального паралелогра*ма) соединяется с N (точкой горизонтального паралелогра*ма), получается Диагональ MN

Многогранник бывает выпуклый (располежен по 1 сторону от плоскости каждой своей грани) и невыпуклый (когда расположен по разные стороны от плоскости грани, в которой он лежит).

Призма - многогранник, постраиваемый следующим образом:

a и b - паралелльны плоскости (плоскости, не имеющие общих точек). в плоскости a возьмём какой-нибудь многогранник A1, A2, ... An

В плоскости B возьмём равный многоугольнику A1, A2, ...An многоугольник B1, B2, ...Bn. Причём так, чтобы равные стороны A1, A2 и B1B2, A1A2 и B2B3, ..., AnA1 и B1Bn этих многоугольников были паралелльны и сторонами чертырёхугольникаов A1A2, B2B1, A2A3B3B2, AnA1B1Bn

Для пояснения, чем являются параллельность прямых:

Параллельные прямые - 2 прямые, лежащие в 1 плоскости и не пересекающиеся между собой

Указанные четырёхугольники - паралелограммы.

Например, в четырёхугольнике A1A2B2B1 противоположные стороны A1A2 и B2B1 по построению равны и паралелльны, следовательно эти четырёхугольники - паралелограммы.

n-угольная призма - многогранник A1A2... an и (следовательно) B1B2...B, составленный из 2 равных n-угольников A1A2...An и B1B2... Bn - оснований призмы и n параллелограммов A1A2B2B1, ..., AnA2B2Bn - боковых граней призмы. A1B1, ..., AnBn - боковые грани призмы. Все они равны и паралелльны

Призмы бывают прямыми (когда все боковые рёбра призмы прямо перпендикулярны к плоскостям её и оснований) и наклонными (когда противоположны прямым)

Прямая a, пересекающая плоскость a в некоторой точке H - перпендикулярная к этой плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости a и проходящей через точку H.

A перпендикулярна a - перпендикулярность прямой A и плоскости a

Прямая призма - правильная призма, если основания - правильные многоугольники

Паралеллипед - чётырехугольнач призма, основания которых - паралелограммы

Параллелепипед - прямой (его боковые рёбра) перпендикулярны к плоскостям оснований), то следовательно боковые грани - прямоугольники.если и основания паралеллипеде - прямоугольники, то этот паралеллипед - прямоугольный

Свойство:

4 диагонали паралелогра*ма пересекаются в этой точке и делятся этой же точкой пополам

Стереометрия - раздел геометрии о объёмных фигурах

В стереометрии наряду с простейшими фигурами (точками, линиями и плоскостями) рассматриваются многогранники - пространственные тела, поверхности которых состоят из многоугольников

1 из простейших многогранников - куб

В отличие от реальных предметов, геометрические тела (как и всякие геометрические фигуры) - воображаемые объекты

Гер термическое тело (объёмная фигура) - часть пространства, отделённая от остальной частью пространства (поверхностью границей) этого тела

Секущая плоскость тела - плоскость тела, по обе стороны от которой имеются точки данного тела

Сечение тела - фигура, образовывающаяся при сечении тела с секущей плоскостью (общей частью тела и секущей плоскости)

Геометрические тела - часть пространственных фигур

Изображённые пространственные фигуры - его проекция на ту или иную плоскость

1 и та же фигура допускает разные изображения. Обычно выбирают то из них, которое создаёт правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для изучения её свойств.

Невидимые части многоугольников изображаются штрихом

Будем опираться на наглядные представления тел вращения и многоугольников:

1 толкование многоугольника:

Замкнутая линия, составленная из отрезков и не имеющая самопересечения/Часть плоскости, ограниченная этой линией

2 толкование многогранника:

Многогранник - поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело (которое кстати тоже - многоугольник)

Многогранники:

Прямоугольный параллелепипед (многогранник из 6 прямоугольников, куб (многогранник, прямоугольный паралеллипед из 6 квадратов-прямоугольников), тетраэдр и октаэдр

Тетраэдр состоит из 4 треугольников, а октаэдр - из 8

Грани - многоугольники, из которых составлен многогранник

Пример грани:

6 многоугольников прямоугольного параллелепипеда

При факте того, что грани - "части" многоугольника, предполагается, что никакие 2 соседние грани многоугольника не лежат в 1 плоскости

Стороны граней - рёбра многогранника

Концы граней - вершины многогранника

Диагональ многогранника - отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие 1 плоскости

Пример диагонали многогранника:

В паралеллипеде M (точка вертикального паралелогра*ма) соединяется с N (точкой горизонтального паралелогра*ма), получается Диагональ MN

Многогранник бывает выпуклый (располежен по 1 сторону от плоскости каждой своей грани) и невыпуклый (когда расположен по разные стороны от плоскости грани, в которой он лежит).

Призма - многогранник, постраиваемый следующим образом:

a и b - паралелльны плоскости (плоскости, не имеющие общих точек). в плоскости a возьмём какой-нибудь многогранник A1, A2, ... An

В плоскости B возьмём равный многоугольнику A1, A2, ...An многоугольник B1, B2, ...Bn. Причём так, чтобы равные стороны A1, A2 и B1B2, A1A2 и B2B3, ..., AnA1 и B1Bn этих многоугольников были паралелльны и сторонами чертырёхугольникаов A1A2, B2B1, A2A3B3B2, AnA1B1Bn

Для пояснения, чем являются параллельность прямых:

Параллельные прямые - 2 прямые, лежащие в 1 плоскости и не пересекающиеся между собой

Указанные четырёхугольники - паралелограммы.

Например, в четырёхугольнике A1A2B2B1 противоположные стороны A1A2 и B2B1 по построению равны и паралелльны, следовательно эти четырёхугольники - паралелограммы.

n-угольная призма - многогранник A1A2... an и (следовательно) B1B2...B, составленный из 2 равных n-угольников A1A2...An и B1B2... Bn - оснований призмы и n параллелограммов A1A2B2B1, ..., AnA2B2Bn - боковых граней призмы. A1B1, ..., AnBn - боковые грани призмы. Все они равны и паралелльны

Призмы бывают прямыми (когда все боковые рёбра призмы прямо перпендикулярны к плоскостям её и оснований) и наклонными (когда противоположны прямым)

Прямая a, пересекающая плоскость a в некоторой точке H - перпендикулярная к этой плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости a и проходящей через точку H.

A перпендикулярна a - перпендикулярность прямой A и плоскости a

Прямая призма - правильная призма, если основания - правильные многоугольники

Паралеллипед - чётырехугольнач призма, основания которых - паралелограммы

Параллелепипед - прямой (его боковые рёбра) перпендикулярны к плоскостям оснований), то следовательно боковые грани - прямоугольники.если и основания паралеллипеде - прямоугольники, то этот паралеллипед - прямоугольный

Свойство:

4 диагонали паралелогра*ма пересекаются в этой точке и делятся этой же точкой пополам - это утверждение доказывает следующий факт: если 2 прямые в пространвсе вн паралелльны третьей прямой, то они - паралелльны

Каждое из геометрических тел имеет объём, который измеряют с выбранной единицей измерения объёмов (Если ребро у куба - 1 см, то он [куб] - кубический сантиметр [1 см³])

При выбранной единицей измерения объём тела - положительное число, показывающее, сколько единиц измерения объёмов и её частей укладываются в теле

Если 2 тела равны, то каждое из них содержит столько же единиц объёмов и

её частей, сколько и другое тело (которое равному этому самому телу из данной пары) следовательно: 1°. равные тела имеют объёмы, 2°. если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел. Свойства 1° и 2° - основные свойства объёмов

Принцип Кавальери (теорема для нахождения объёмов тел в разных случаях): K1 в k раз меньше k2

Измерения прямоугольного паралеллипеда: длина, ширина и высота

У прямоугольников 2 измерения - длина и ширина. При этом квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений. - аналогичное свойства для прямоугольного паралеллипеда: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трёх его измерений.

S прямоугольника равна произведению его измерений - аналогичное свойство для прямоугольного паралеллипеда: объём прямоугольного паралеллипеда равен произведению трёх его измерений

Пирамида - многогранник, составленный из n-угольника A1A2...An и этих треугольников

Многоугольник A1A2...An - основание пирамиды, а указанные треугольники - боковые грани пирамиды.

Пирамида (вершиной P) и основанием A1A2...A - n-угольная пирамида

Тетраэдр - треугольная пирамида

Пирамида - правильная пирамида, если её основание - правильный многоугольник

Объём пирамиды равен одной трети произведения половины площади на высоту ж

Тела - мир для прямоугольного паралеллипеда (как личности)

В конвейер включили фрактальную размерность, числа Бетти и функционалы Минковского. Их дополнили методом «виртуальных разрезов», оценкой направленной связности и тензором Минковского. Вместе эти инструменты позволяют описывать геометрию, топологию и анизотропию структуры, то есть её зависимость от направления. Здесь важен совместный анализ нескольких характеристик. Площадь поверхности, наличие сквозных связей и вытянутость структур отвечают на разные вопросы об устройстве образца.

Это различие проявилось при исследовании меймечита с Кольского полуострова. Магнетитовая фаза имела огромную площадь поверхности, но не образовывала ни одного сквозного канала. Другие фазы формировали единую сеть вдоль вертикальной оси. «Виртуальные разрезы» дополнительно подтвердили вытянутость структур. Поэтому по одной лишь большой площади поверхности нельзя заключить, что фаза образует сквозной путь через образец. А описание связности полезно дополнять указанием направления, вдоль которого существует сеть.

Для этого анализа не изготавливали шлифы. Выводы получили по геометрии и топологии рентгеновской плотности, без разрушения образца. Разработчики также заявляют возможность применять конвейер к пористым средам, композитам, биоматериалам и аддитивно изготовленным деталям при наличии трёхмерного томографического изображения. Демонстрация на меймечите показывает конкретный пример такого анализа.

Надёжность численного описания зависит и от детализации изображения. Это хорошо видно в отдельной работе Казанского федерального университета, опубликованной в Advances in Water Resources https://doi.org/10.1016/j.advwatres.2026.105397. Один образец песчаника просканировали шесть раз с разрешением от 16 до 1,6 мкм. Томограммы совместили, чтобы сравнить модели одного и того же участка. При 16 мкм мелкие сужения между порами отображались неточно, из-за чего расчётная проницаемость завышалась.

Для исследованного песчаника пористость и извилистость каналов перестали меняться при разрешении 3–4 мкм. Для оценки проницаемости и внутренней поверхности пор потребовалось разрешение более высокое, чем 1,6 мкм. Универсального значения для всех характеристик нет. Практический смысл сравнения состоит в том, чтобы выбирать детализацию под нужное свойство и не увеличивать объём данных после стабилизации его расчёта. Влияние сегментации исследователи планируют изучить отдельно, чтобы разделить погрешности разрешения и обработки.

Эти примеры показывают две стороны количественного анализа томограмм. Нужно учитывать одновременно геометрию, связность и направленность структуры, а также проверять, достаточно ли детально изображение передаёт особенности, от которых зависит выбранная характеристика.

https://science.mail.ru/news/57443-matematicheskij-metod-ocenit-strukturu-porody/

Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен

#ПрикладнаяМатематика #Топология #Геометрия #Томография