У тетраэдра любые две грани имеют общее ребро. Существует ли другой многогранник, у которого каждая грань соседствует со всеми остальными?

Да. У многогранника Силашши семь граней, и каждые две имеют общее ребро. Таким образом, попарное соседство граней возможно и за пределами тетраэдра.

Есть и восьмигранные конструкции с попарным соседством граней, но здесь существенна оговорка о том, что считать многогранником. Одну такую конструкцию нашли G. Röst и V. Vígh, а ещё раньше другой подобный восьмигранник построил Руслан Мижаев. В этих примерах некоторые пары граней пересекаются по двум рёбрам.

Требования «иметь общее ребро» и «пересекаться ровно по одному ребру» различаются. Два общих ребра удовлетворяют первому условию, но нарушают второе. Поэтому восьмигранные конструкции отвечают на вопрос о попарном соседстве лишь при определении многогранника, допускающем такое пересечение граней. Если определение это запрещает, они уже не подходят.

Представляю Вам новую свою схему и видеоинструкцию по сборке одного из Архимедовых тел* - усечённого тетраэдра.

Усеченный тетраэдр - это выпуклый многогранник,  состоящий из 8 граней (4 правильных шестиугольников и 4 равносторонних треугольников), 12 вершин и 18 рёбер. Его можно построить, обрезав все 4 вершины правильного тетраэдра на треть от первоначальной длины ребра.

*Архимедовы тела - это выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

1. Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов;

2. Многогранник относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии (для усечённого тетраэдра двойственным многогранником является триакистетраэдр).

ВНИМАНИЕ! Все, что написано далее, не несет никакой смысловой нагрузки, никогда вам не понадобится и не развеселит. Приятного просмотра, если рискнули.
Но в первую очередь надо прочесть этот пост про гиперкубы: https://pikabu.ru/story/giperkubyi_5668168

Как я и собирался, сделал пост про новые фигуры, выходящие за пределы нашего понимания.
Тут будет представлено всего 5 политопов 4-ех мерного пространства, да, это не 11 измерений гиперкуба (Если не видел, переходи лучше по ссылке!), конечно, но хоть что-то. (Да-да, я нашел больше гифок)
Вот определение, чтобы не лазить вниз этого поста за ним:
Политоп — это подмножество евклидова пространства, которое представимо в виде объединения конечного числа симплексов.
Да... Вам же интересно, что такое симплекс? Держите еще!
Симплекс — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.
Теперь точно никто не сможет придраться к определениям.
Время картинок! А то слишком много букв.