Решение:

Уравнение 1 степени: x - 5 = 0, уравнение 2 степени: 2x² - x - 1 = 0, уравнение 3 степени: 4x³ - 3x² - 4x + 1 = 0, уравнение 4 степени: 5x⁴ - 4x³ - 3x² - 4x + 1 = 0, уравнение 5 степени: 6x⁵ - 5x⁴ - 3x³ - 2x² - x - 1 = 0 и так далее

Как понять какой степени уравнение с 2 переменными: степень самого большого по числу степени слагаемого - число степени самого уравнения, например, 7x²y³ - уравнение 5 степени, а xy - 1 степени

Заменяем x на 4, а y - на 3, 2x - 3y + 16 больше 0 превратится в 8 - 9 + 16 больше 0, а 3x - 4y + 2 больше 0 - в 12 - 12 + 2 больше 0. Так как и число 15 в 1 неравенстве (решение 8 - 9 + 16), и число 2 во 2 неравенстве (решение 12 - 12 + 2) больше 0, пара (4; 3) - решение данной системы неравенства

Название задачи (2):

Является ли пара (5: 4) решением системы неравенства (в одн*м: 2x - 3y + 16 больше 0; в другом: 3x - 4y + 2 больше 0):

Решение:

Заменяем x на 5, а y - на 4, 2x - 3y + 16 больше 0 превратится в 10 - 12 + 16 больше 0, а 3x - 4y + 2 больше 1 - в 15 - 16 + 2 больше 0. Так как и число 14 в 1 неравенстве (решение 10 - 12 + 16), и число 1 во 2 неравенстве (решение 15 - 15 + 2) больше 0, пара (5; 4) - решение данной системы неравенства

Если же хотя бы даже 1 неравенство из пары систем неравенста не соответствует паре чисел типо (5; 4) и так далее, то эта самая пара - не решение системы неравенств

Последовательность (пример на чётных числах): 2, 4, 6, 8

Число последовательности - a

Член послед*вательности с номером n (n-й член послед*вательности) - An

Последовательность (An):

Бесконечная последовательность - последовательность с бесконечным числом членов

Конечная последовательность - последовательность с конечным числом членов

Чтобы указать последовательность, надо указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым числом

Последовательность задают с формулой n-го члена последовательности

Последовательность An = 2n (формула последовательности чётных чисел)

Последовательность Bn = 1/n + 1 (формула последовательности правильных дробей с числителем равным 1)

Последовательность H = n/n + 1 (формула последовательности дробей стремящихся к 1)

Последовательность An = 2n - 1 (формула последовательности нечётных чисел)

Последовательность Dn = n² (формула последовательности квадратов натуральных чисел)

Последовательность En = n³ (формула последовательности кубов натуральных чисел)

Последовательность Fn = 2N (формула последовательности степеней двойки)

Последовательность G = (-1)n (формула знакочередующейся последовательности)

Как решать задачи типо "Известно, что (Cn) - последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны 1, а с чётными = 0. Выпишите первые 8 членов этой последовательности. Найдите C10, C25":

C10 = 0 (ведь 10 - чётное число), C25 = 1 (ведь 25 - нечётное)

2k+1 - тут это нечётное число, значит 1

Как решать задачи типо "Пусть (An) - последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 10 членов этой последовательности. Найдите A20, An":

An = n3, n принадлежит N, следовательно A20 = 20² = 1400, An = 1² = 1

Арифметическая прогрессия - последовательность, каждый член которой, начиная со 2, равен предыдущему члену, сложенным с 1 и тем же числом. Иначе говоря, последовательность (An) - арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие An + 1 = An + d, где d - некоторое число (разность арифметической прогрессии). Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со 2 и предыдущим числом = d, следовательно при любом натуральном n верно рав*нство An + 1 - An = d

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность. Приведём примеры:

Если a1 = 1, d = 1, то выходит: 1, 2, 3, 4, 5

Если a1 = -1, d = 2, то выходит: 1, 3, 5, 7, 9

Если a1 = -2, d = -2, то выходит: -2, -4, -6, -8, -10

Если a1 = 7, d = 0, то выходит: 7, 7, 7, 7, 7

Лёгкий способ для нахождения члена прогрессии с большим чем 1 знаком, зная первый член и разность арифметической прогрессии:

A2 = A1 + D

A3 = A2 + D = (A1 + D) + D = A1 + 2D

A4 = A3 + D = (A1 + 2D) + D = A1 + 3D

A5 = A4 + D = (A1 + 3D) + D = A1 + 4D

Чтобы найти An, надо к A1 прибавить (n - 1)d, следовательно An = a1 + d (n - 1)

- вот так выглядит формула n-го члена арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, что подтверждает, следующее утверждение:

An - An-1 = An+1 - An, следовательно 2An = An-1 + An+1, следовательно An = An-1 + An+1/2

Если в последовательности (An) каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность - арифметическая прогрессия, что подтверждает, следующее утверждение:

В выражении из предыдущего равенства, а именно в An = An-1 + An+1/2 число n больше 2, следовательно 2An = An-1 + An+1, следовательно An = A1 + d (n - 1), что допустимо записать как An = dn + (A1 - D). Отсюда подтверждается следующее утверждение:

Любая арифметическая прогрессия бывает задана формулой An = Kn + B, где K и B - некоторые числа.

Последовательность (An), заданная формулой вида An = Kn + B, где K и B - некоторые числа, являются арифметической прогрессией, что подтверждает, следующее утверждение:

Найдя разность (n + 1)-го и n-го членов последовательности (An), выходит: An+1 - An = K (n + 1) + B - (Kn + B) = Kn + K + B - Kn - B = K

Как найти 50-й член в задании типо "Последовательность (Cn) - арифметическая прогрессия, в которой C1 = 0,62, D = 0,24. Найдите 50-й член этой прогрессии":

C50 = 0,62 + 0,86 × (50 - 1) = 12,38

Как решать задачи типо "Выпишите Первые 5 членов арифметической прогрессии (An), если

A1 = 30, D = -10":

A1 = 30, D = -10, следовательно A2 = 20, A3 = 10, A4 = 0, A5 = -10 (ведь по формуле, например: A2 = A1 + D)

Как решать задания типо "Последовательность (Bn) - арифметическая прогрессия, 1 член которой = B1, а Разность = D. Выразите через B1 и d B7":

B7 = B1 + D (7 - 1) = B1 + 6D, ведь B7 = B1 + D (n - 1) по формуле

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Как выполнить задачу "Требуется Найти Сумму первых 100 натуральных чисел":

Запишем S (искомую сумму последовательности) дважды, в 1 случае - в порядке возрастания, во 2 - в порядке убывания:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1

Каждая пара чисел (как показано на шаблоне записи S), находящихся друг под другом ж = 101, например, 1 + 100 = 101, 2 + 99 (лежащие друг под другом ж) = 101. Всего таких пар - 100, следовательно, сложив равенства почленно:

2S = 101 × 100. S = 101 × 100/2 = 5050

Обозначим сумму первых n членов арифметической прогрессии (An) через Sn и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае - порядке убывания:

Sn = A1 + A2 + A3 + A4 + ... + An-1 + An

Sn = An + An-1 + An-2 + An-3 + ... + A2 + A1. - су*ма каждой пары членов прогрессии под другом равна A1 + An, действительно:

A2 + An-1 = (A1 + D) + (An - D) = A1 + An

A3 + An-2 = (A2 + D) + (An-1 - D) = A2 + An-1 = A1 + An

Так как число таких пар = n, то сложив почленно суммы Sn, выходит: 2Sn = (A1 + An)n/2

Как решать задания типо "найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150)":

A1 = 1, An = 150. Следовательно n = 150. А так как 75 = половина 150, то S = 75. Следовательно S75 = A1 + An/2 × 150 = 11325

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Сум*а всех 64 членов геометрической прогрессии (на примере 2):

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶² + 2⁶³, следовательно 2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶³ + 2⁶⁴

Уррощённая геометрическая прогрессия (уравнение):

2S - S = (2 + 2² + ... + 2⁶³ + 2⁶⁴) - (1 + 2 + ... + 2⁶² + 2⁶³)

1 число геометрической прогрессии - либо 1, либо S, а 64 - либо S⁶³, либо S⁶⁴

Sn = геометрическая прогрессия

Дана геоме*рическая прогр*ссия (Bn), где B - число, а N - его степень:

Sn = B1 + B2 + B3 + ... + Bn-1 + B, слевадельно умножим на Q и будет ж SnQ = B1Q + B2Q + B3Q + ... + Bn-1Q + BQ, так как B1Q = B2, B2Q = B3, B3Q = B4, ..., Bn-1Q = Bn, выходит:

SnQ = B2 + B3 + B4 + B4 + ... + Bn + BnQ

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены:

SnQ - Sn = (B2 + B3 + ... + Bn + BnQ) - (B1 + B2 + ... + Bn - 1 + Bn) = BnQ - B1, следовательно Sn (Q - 1) = BnQ - B1, следовательно Sn = BnQ - B1/Q - 1 (формула суммы первых n членов геометрической прогрессии)

Sn = B1 (Qn - 1)/Q - 1, при этом q всегда ≠ 1, ведь иначе в формуле Sn - BnQ - B1/Q - 1 все члены прогрессии равны 1 члену прогрессии и Sn = nB1

В формуле Sn = B1 (Qn - 1)/Q - 1, знак B = C (например, -4)

Как решать задания из учебника типо "Найдите сумму первых n членых геометрической прогрессии):

Дана геометрическая прогрессия (1; -X; X²..., где X ≠ -1). Тут B1 (так как она равна 1 члену прогрессии) = 1. Следовательно по формуле Q = B2/B1 выходит, что -X/1 = -X

Sn = B1 × Qn - 1/Q - 1 = 1 × (-X)n - 1/-X - 1 = 1 - (-X) n/X + 1, ведь по формуле Sn = B1 × Qn - 1/Q - 1 ж то

Последовательность An = 2n (формула последовательности чётных чисел)

Последовательность Bn = 1/n + 1 (формула последовательности правильных дробей с числителем равным 1)

Последовательность H = n/n + 1 (формула последовательности дробей стремящихся к 1)

Последовательность An = 2n - 1 (формула последовательности нечётных чисел)

Последовательность Dn = n² (формула последовательности квадратов натуральных чисел)

Последовательность En = n³ (формула последовательности кубов натуральных чисел)

Последовательность Fn = 2N (формула последовательности степеней двойки)

Последовательность G = (-1)n (формула знакочередующейся последовательности)

Как решать задачи типо "Известно, что (Cn) - последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны 1, а с чётными = 0. Выпишите первые 8 членов этой последовательности. Найдите C10, C25":

C10 = 0 (ведь 10 - чётное число), C25 = 1 (ведь 25 - нечётное)

2k+1 - тут это нечётное число, значит 1

Как решать задачи типо "Пусть (An) - последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 10 членов этой последовательности. Найдите A20, An":

An = n3, n принадлежит N, следовательно A20 = 20² = 1400, An = 1² = 1

Арифметическая прогрессия - последовательность, каждый член которой, начиная со 2, равен предыдущему члену, сложенным с 1 и тем же числом. Иначе говоря, последовательность (An) - арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие An + 1 = An + d, где d - некоторое число (разность арифметической прогрессии). Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со 2 и предыдущим числом = d, следовательно при любом натуральном n верно рав*нство An + 1 - An = d

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность. Приведём примеры:

Если a1 = 1, d = 1, то выходит: 1, 2, 3, 4, 5

Если a1 = -1, d = 2, то выходит: 1, 3, 5, 7, 9

Если a1 = -2, d = -2, то выходит: -2, -4, -6, -8, -10

Если a1 = 7, d = 0, то выходит: 7, 7, 7, 7, 7

Лёгкий способ для нахождения члена прогрессии с большим чем 1 знаком, зная первый член и разность арифметической прогрессии:

A2 = A1 + D

A3 = A2 + D = (A1 + D) + D = A1 + 2D

A4 = A3 + D = (A1 + 2D) + D = A1 + 3D

A5 = A4 + D = (A1 + 3D) + D = A1 + 4D

Чтобы найти An, надо к A1 прибавить (n - 1)d, следовательно An = a1 + d (n - 1)

- вот так выглядит формула n-го члена арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, что подтверждает, следующее утверждение:

An - An-1 = An+1 - An, следовательно 2An = An-1 + An+1, следовательно An = An-1 + An+1/2

Если в последовательности (An) каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность - арифметическая прогрессия, что подтверждает, следующее утверждение:

В выражении из предыдущего равенства, а именно в An = An-1 + An+1/2 число n больше 2, следовательно 2An = An-1 + An+1, следовательно An = A1 + d (n - 1), что допустимо записать как An = dn + (A1 - D). Отсюда подтверждается следующее утверждение:

Любая арифметическая прогрессия бывает задана формулой An = Kn + B, где K и B - некоторые числа.

Последовательность (An), заданная формулой вида An = Kn + B, где K и B - некоторые числа, являются арифметической прогрессией, что подтверждает, следующее утверждение:

Найдя разность (n + 1)-го и n-го членов последовательности (An), выходит: An+1 - An = K (n + 1) + B - (Kn + B) = Kn + K + B - Kn - B = K

Как найти 50-й член в задании типо "Последовательность (Cn) - арифметическая прогрессия, в которой C1 = 0,62, D = 0,24. Найдите 50-й член этой прогрессии":

C50 = 0,62 + 0,86 × (50 - 1) = 12,38

Как решать задачи типо "Выпишите Первые 5 членов арифметической прогрессии (An), если

A1 = 30, D = -10":

A1 = 30, D = -10, следовательно A2 = 20, A3 = 10, A4 = 0, A5 = -10 (ведь по формуле, например: A2 = A1 + D)

Как решать задания типо "Последовательность (Bn) - арифметическая прогрессия, 1 член которой = B1, а Разность = D. Выразите через B1 и d B7":

B7 = B1 + D (7 - 1) = B1 + 6D, ведь B7 = B1 + D (n - 1) по формуле

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Как выполнить задачу "Требуется Найти Сумму первых 100 натуральных чисел":

Запишем S (искомую сумму последовательности) дважды, в 1 случае - в порядке возрастания, во 2 - в порядке убывания:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1

Каждая пара чисел (как показано на шаблоне записи S), находящихся друг под другом ж = 101, например, 1 + 100 = 101, 2 + 99 (лежащие друг под другом ж) = 101. Всего таких пар - 100, следовательно, сложив равенства почленно:

2S = 101 × 100. S = 101 × 100/2 = 5050

Обозначим сумму первых n членов арифметической прогрессии (An) через Sn и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае - порядке убывания:

Sn = A1 + A2 + A3 + A4 + ... + An-1 + An

Sn = An + An-1 + An-2 + An-3 + ... + A2 + A1. - су*ма каждой пары членов прогрессии под другом равна A1 + An, действительно:

A2 + An-1 = (A1 + D) + (An - D) = A1 + An

A3 + An-2 = (A2 + D) + (An-1 - D) = A2 + An-1 = A1 + An

Так как число таких пар = n, то сложив почленно суммы Sn, выходит: 2Sn = (A1 + An)n/2

Как решать задания типо "найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150)":

A1 = 1, An = 150. Следовательно n = 150. А так как 75 = половина 150, то S = 75. Следовательно S75 = A1 + An/2 × 150 = 11325

Правило треугольника - 1 геометрическое правило для сложения векторов, если векторы не выходят из 1 точки (формула):

AB + BC = AC (проще говоря, AC - 2 катета, AB и AC - те самые катеты)

Правило паралелограм*а - 2 геометрическое правило для сложения векторов на случай, если векторы выходят из 1 точки (формула):

AB + AD = AC, где AC - диагональ паралелогра*ма, откуда выходят AB и AD (проще говоря, A - точка, откуда выходят 2 вектора, AB - 1 вектор, AD - 2 вектор, а AC - диагональ, где C - новая точка)

Результат правила треугольника (векторов): 3 сторона треугольника

Результат правила паралелограм*а (векторов): диагональ паралелограм*а

Решение:

Заменяем x на 4, а y - на 3, 2x - 3y + 16 больше 0 превратится в 8 - 9 + 16 больше 0, а 3x - 4y + 2 больше 0 - в 12 - 12 + 2 больше 0. Так как и число 15 в 1 неравенстве (решение 8 - 9 + 16), и число 2 во 2 неравенстве (решение 12 - 12 + 2) больше 0, пара (4; 3) - решение данной системы неравенства

Название задачи (2):

Является ли пара (5: 4) решением системы неравенства (в одн*м: 2x - 3y + 16 больше 0; в другом: 3x - 4y + 2 больше 0):

Решение:

Заменяем x на 5, а y - на 4, 2x - 3y + 16 больше 0 превратится в 10 - 12 + 16 больше 0, а 3x - 4y + 2 больше 1 - в 15 - 16 + 2 больше 0. Так как и число 14 в 1 неравенстве (решение 10 - 12 + 16), и число 1 во 2 неравенстве (решение 15 - 15 + 2) больше 0, пара (5; 4) - решение данной системы неравенства

Если же хотя бы даже 1 неравенство из пары систем неравенста не соответствует паре чисел типо (5; 4) и так далее, то эта самая пара - не решение системы

неравенств ж

2 степ*нь: x² - 3x - 1 = 0

3 степ*нь: x³ - 4x² - 2x + 1 = 0

4 степ*нь: x⁴ - 5x³ - 2x² - x - 4 = 0

Как решать кубическое уравнение (уравнение 3 степени):

x³ + 2x² - x - 2 = 0 будет x² (x + 2) - (x + 2) = 0 будет (x² - 1) (x + 2) будет (x - 1) (x + 1) (x + 2) = 0, следовательно x¹ = 1, x² = -1, x³ = 2

Дробные рациональные уравнения - уравнения, где в обеих частях всегда рациональные выражения

Примечание: в дробных рациональных уравнениях знаменители всегда рациональны числитель и знаменатель дробей

Как надо решать дробные рациональные уравнения:

x/1 = 9x - 20/x + 18 будет x (x + 18) = 1 (9x - 20) будет x² + 18x = 9x - 20 будет x² + 9x + 20. Тут дискриминант = 81 - 80 = 1, значит x¹ = -b + √D/2a = -9 + 1/2 = -4, а x² = -9 - 1/2 = -5

Как решать неравенство:

(x + 25) (x - 30) = 0 - тут -25 меньше 0 меньше 30, значит координаты неравенств: x (-25;30), причём (так все решаются неравенства)!

Шаблон y (f): y (1), y (2) и так далее, то есть f - есть тот самый y

Как решать примеры с функциями переменных, если y (f);

Если x = 2: y (f) = 3x² - 5x + 2 будет y (f) = 12 - 10 + 2, следовательно y (f) = 4

Если y (f) = 15: Дана функция y (f) = 2x + 7. Найдите значение аргумента (x), при котором y (f) = 15. Тут надо y (f) поменять на 15, следовательно y (f) = 2x + 7 будет 15 = 2x + 7, следовательно 2x = 15 - 7, а 2x = 8, x = 4

Как решать примеры с нахождением Области определения функции (ООФ), если пример с делением:

y (f) = 5/x - 3. Тут y (f) = 5 или x - 3, а x - 3 это знаменатель, а в знаменателе нет 0 (т.к. на 0 нельзя делить), следовательно x ≠ 3, а ответ таков: y (f) : x = (бесконечность; 3), U (3; бесконечность) (любые числа кроме 3)

Как решать примеры с нахождением Области определения функции (ООФ), если пример с корнем:

Найдите область определения функции y (f) = √2x - 8. Тут выражение под корнем должно быть неотрицательным (положительным), ведь 2x - 8 = 0, следовательно x ≥ 4, а значение переменных функции тут - любое

Нули функции это значение x, при которой значение самой функции всегда = 0, совпадая с самим корнем самого уравнения (f (x) или y = 0), пример решения с задачей по такому способу:

f (x) = x² - 9, т.к. f (x) тут = 0, то x² - 9 = 0, а следовательно x = 3 и x = -3, а значит 3 и -3 - нули данной функции

По графику условной температуры (по вертикальному y) и часов (по горизонтальной оси x), допустимо понять, что если по вертикальному y температура была 40 C, когда было за 2 часа до основного часа (0 на координатах), а 100° C стало когда наступило в 14 часов спустя после наступления основного часа (0 на координатах), при том что всегда ж при функции (14; 100) был пик температуры, то по функции (-2; 14) температура уходила выше (была возрастающей функцией), а когда же 30° C наступило в 24 часа после основного часа (0 на координатах), то по функции (14; бесконечность] температура уходила ниже (была убывающей функцией), следовательно C (f) = t аналогично y (f) = x, где C аналогично y, а t - x

Убывающая функция возрастает при увеличении аргумента (аргумента x или самого икс), а возрастающая функция - уменьшается