Всем привет! Я – Демьян, школьник-конструктор, и у меня есть канал «Изобретаника», где я пытаюсь разгадать, как работают крутые изобретения.

Недавно я наткнулся на довольно свежую статью математиков из СамГТУ про высыхающие капли. Казалось бы, при чём тут изобретения? А вот при чём.

Все знают эффект кофейного кольца: капля сохнет на столе и оставляет грязный контур по краю. В быту это ерунда, но в струйной печати токопроводящими чернилами – это катастрофа. Принтер капает микрокаплю с раствором, хочет получить ровную точку, а получается пустой центр с толстым бортиком. Инженеры преодолевают это повторным слоем чернил, магнитами, лазерами и подогревом подложки

И тут статья подкидывает мега-интригу. Оказывается, в самом конце высыхания капиллярный поток внутри капли может разворачиваться на 180 градусов сам по себе. Без всякого внешнего воздействия! Но это если капнуть в жидкость специальную добавку. Тогда края капли густеют (превращаются в гель) и блокируют испарение, а центр наоборот начинает испаряться сильнее. Капиллярное давление меняет знак, и жидкость начинает течь от краев к центру, размывая это самое кольцо!

Этот факт скрывал баг в математике. Когда ученые считали этот процесс на компьютерах, численная схема выдавала так называемые «пилообразные осцилляции». Это как помехи на радаре: из-за математической «зубчатки» программа просто не видела, что поток развернулся. Автор статьи Константин Колегов придумал, как подавить эту «пилу», починил баг — и вжух, скрытая физика открылась!

Если интересно, вот ссылка на статью

А это код его расчетов на GitHub

Теги: наука, физика, программирование, длиннопост, нанотехнологии, математика, изобретения

Двумерные уравнения Эйлера, описывающие течения газа, решаются на очень подробной локально-адаптивной сетке. Цветом показаны значения плотности газа, а тонкие черные линии это границы расчётных ячеек. Здесь ударная волна взаимодействует с клиновидной областью газа пониженной плотности.

Меня зовут Руслан Сенаторов, я занимаюсь математическим обоснованием машинного обучения.
В этой статье, я расскажу как выбрать метод для определённого типа датасета, чтобы ваш код работал быстро, точно и без ошибок? И вы получили премию от руководства!

Введение

Решение систем линейных уравнений (СЛАУ) вида Ax = b — фундаментальная задача вычислительной математики и машинного обучения. Однако универсального метода не существует — выбор алгоритма критически зависит от характеристик датасета. Неправильный выбор может привести к катастрофическому замедлению вычислений или полной потере точности.

Ключевые характеристики датасета

1. Размер и структура матрицы

• n_samples × n_features — соотношение наблюдений и признаков

• Плотность/разреженность — процент ненулевых элементов

• Обусловленность — число обусловленности матрицы

2. Вычислительные ограничения

• Объем оперативной памяти

• Требования к точности

• Время вычислений

Дерево решений для выбора метода

Маленькие датасеты (n < 1000)

Плотные хорошо обусловленные матрицы

Матрицы общего вида

Плохо обусловленные системы

***

Средние датасеты (1000 < n < 10,000)

"Высокие" матрицы (n_samples >> n_features)

"Широкие" матрицы (n_samples << n_features)

***

Большие датасеты (n > 10,000)
Разреженные матрицы

***

Огромные датасеты (n > 1,000,000)

Стохастические методы

Когда использовать нормальные уравнения?

"Высокие" матрицы (m >> n)

Детальный анализ методов

Точные методы (прямые)

Итерационные методы

SGD | Подходит для огромных данных | Медленная сходимость

Заключение

Выбор оптимального метода решения СЛАУ — это искусство баланса между точностью, скоростью и требованиями к памяти. Ключевые рекомендации:

• Маленькие матрицы → Прямые методы (QR/SVD)

• Большие разреженные → Специализированные разреженные решатели

• Огромные плотные → Итерационные методы с предобуславливанием

• Экстремальные размеры → Стохастическая оптимизация

Главное правило: Всегда начинайте с анализа структуры и свойств вашей матрицы — это сэкономит часы вычислений и предотвратит численные катастрофы.

Используйте это руководство как отправную точку для выбора оптимального стратегии решения ваших задач линейной алгебры.

Численный метод решения вероятностных задач. Метод монте карло (monte carlo) широко используется в data science.

Пример кода на GitHub:

https://github.com/kulievvitaly/ml_intro

Мой ютуб канал: https://youtu.be/VYfM-HafkuE

Телеграм канал: https://t.me/vitaly_kuliev_it

Таймкоды:

0:00 численный рассчет числа ПИ π

1:05 эксперименты с монеткой

6:22 Омаха. рассчет вероятностей